{"id":50,"date":"2010-10-16T17:59:00","date_gmt":"2010-10-16T17:59:00","guid":{"rendered":"http:\/\/artigos.marcomapa.com\/?p=50"},"modified":"2011-09-11T19:24:07","modified_gmt":"2011-09-11T19:24:07","slug":"juros-compostos-como-calcular","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/marcomapa.com\/artigos\/juros-compostos-como-calcular\/","title":{"rendered":"Juros Compostos – Como calcular"},"content":{"rendered":"

S\u00f3 nesta semana atendi quatro amigos com d\u00favidas no que se diz respeito ao c\u00e1lculo de juros compostos.
Essa \u00e9 uma d\u00favida comum quando nos envolvemos com finan\u00e7as, financiamentos, empr\u00e9stimos e por a\u00ed vai.<\/p>\n

<\/p>\n

<\/a><\/div>\n

O capital inicial (principal) pode crescer, como j\u00e1 sabemos, devido aos juros, segundo duas modalidades a saber:<\/p>\n

Juros simples - ao longo do tempo, somente o principal rende juros.<\/p>\n

Juros compostos - ap\u00f3s cada per\u00edodo, os juros s\u00e3o incorporados ao principal e passam, por sua vez, a render juros. Tamb\u00e9m conhecido como \"juros sobre juros\".<\/p>\n

Vamos ilustrar a diferen\u00e7a entre os crescimentos de um capital atrav\u00e9s juros simples e juros compostos, com um exemplo:<\/p>\n

Suponha que $100,00 s\u00e3o empregados a uma taxa de 10% a.a. Teremos: <\/p>\n

<\/a><\/div>\n

Observe que o crescimento do principal segundo juros simples \u00e9 LINEAR enquanto que o crescimento segundo juros compostos \u00e9 EXPONENCIAL, e portanto tem um crescimento muito mais \"r\u00e1pido\".<\/p>\n

Isto poderia ser ilustrado graficamente da seguinte forma: <\/p>\n

<\/a><\/div>\n

Na pr\u00e1tica, as empresas, \u00f3rg\u00e3os governamentais e investidores particulares costumam reinvestir as quantias geradas pelas aplica\u00e7\u00f5es financeiras, o que justifica o emprego mais comum de juros compostos na Economia. Na verdade, o uso de juros simples n\u00e3o se justifica em estudos econ\u00f4micos. <\/p>\n

F\u00f3rmula para o c\u00e1lculo de Juros compostos <\/p>\n

Considere o capital inicial (principal P) $1000,00 aplicado a uma taxa mensal de juros compostos ( i ) de 10% (i = 10% a.m.). Vamos calcular os montantes (principal + juros), m\u00eas a m\u00eas: <\/p>\n

Ap\u00f3s o 1\u00ba m\u00eas, teremos: M1 = 1000 x 1,1 = 1100 = 1000(1 + 0,1)<\/p>\n

Ap\u00f3s o 2\u00ba m\u00eas, teremos: M2 = 1100 x 1,1 = 1210 = 1000(1 + 0,1)2<\/p>\n

Ap\u00f3s o 3\u00ba m\u00eas, teremos: M3 = 1210 x 1,1 = 1331 = 1000(1 + 0,1)3 <\/p>\n

..................................................................................................... <\/p>\n

Ap\u00f3s o n\u00ba (en\u00e9simo) m\u00eas, sendo S o montante, teremos evidentemente: <\/p>\n

S = 1000(1 + 0,1)n <\/p>\n

De uma forma gen\u00e9rica, teremos para um principal P, aplicado a uma taxa de juros compostos i durante o per\u00edodo n :<\/p>\n

S = P (1 + i)n <\/p>\n

onde S = montante, P = principal, i = taxa de juros e n = n\u00famero de per\u00edodos que o principal P (capital inicial) foi aplicado. <\/p>\n

NOTA: Na f\u00f3rmula acima, as unidades de tempo referentes \u00e0 taxa de juros (i) e do per\u00edodo ( n ), tem de ser necessariamente iguais. Este \u00e9 um detalhe important\u00edssimo, que n\u00e3o pode ser esquecido! Assim, por exemplo, se a taxa for 2% ao m\u00eas e o per\u00edodo 3 anos, deveremos considerar 2% ao m\u00eas durante 3x12=36 meses. <\/p>\n

Exerc\u00edcios Resolvidos: <\/p>\n

1 \u2013 Expresse o n\u00famero de per\u00edodos n de uma aplica\u00e7\u00e3o, em fun\u00e7\u00e3o do montante S e da taxa de aplica\u00e7\u00e3o i por per\u00edodo. <\/p>\n

Solu\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

Temos S = P(1+i)n<\/p>\n

Logo, S\/P = (1+i)n<\/p>\n

Pelo que j\u00e1 conhecemos de logaritmos, poderemos escrever:<\/p>\n

n = log (1+ i ) (S\/P) . Portanto, usando logaritmo decimal (base 10), vem: <\/p>\n

<\/a><\/div>\n

Temos tamb\u00e9m da express\u00e3o acima que: <\/p>\n

n.log(1 + i) = logS \u2013 logP <\/p>\n

Deste exemplo, d\u00e1 para perceber que o estudo dos juros compostos \u00e9 uma aplica\u00e7\u00e3o pr\u00e1tica do estudo dos logaritmos. <\/p>\n

2 \u2013 Um capital \u00e9 aplicado em regime de juros compostos a uma taxa mensal de 2% (2% a.m.). Depois de quanto tempo este capital estar\u00e1 duplicado? <\/p>\n

Solu\u00e7\u00e3o:<\/p>\n

Sabemos que S = P (1 + i)n . Quando o capital inicial estiver duplicado, teremos S = 2P. Substituindo, vem:<\/p>\n

2P = P(1+0,02)n [Obs: 0,02 = 2\/100 = 2%]\n

Simplificando, fica: <\/p>\n

2 = 1,02n , que \u00e9 uma equa\u00e7\u00e3o exponencial simples.<\/p>\n

Teremos ent\u00e3o:<\/p>\n

n = log1,022 = log2 \/log1,02 = 0,30103 \/ 0,00860 = 35 <\/p>\n

Nota: log2 = 0,30103 e log1,02 = 0,00860; estes valores podem ser obtidos rapidamente em m\u00e1quinas calculadoras cient\u00edficas. Caso uma quest\u00e3o assim caia no vestibular, o examinador teria de informar os valores dos logaritmos necess\u00e1rios, ou ent\u00e3o permitir o uso de calculadora na prova, o que n\u00e3o \u00e9 comum no Brasil. <\/p>\n

Portanto, o capital estaria duplicado ap\u00f3s 35 meses (observe que a taxa de juros do problema \u00e9 mensal), o que eq\u00fcivale a 2 anos e 11 meses.<\/p>\n

Resposta: 2 anos e 11 meses. <\/p>\n

Exerc\u00edcios propostos: <\/p>\n

1 \u2013 Um capital de $200000,00 \u00e9 aplicado a juros compostos de 10% ao ano. Calcule o montante ap\u00f3s 4 anos.<\/p>\n

Resposta: $292820,00 <\/p>\n

2 \u2013 Um certo capital \u00e9 aplicado em regime de juros compostos \u00e0 uma taxa anual de 12%. Depois de quanto tempo este capital estar\u00e1 triplicado?<\/p>\n

Resposta: aproximadamente 9,7 anos ou aproximadamente 9 anos e 9 meses.<\/p>\n

Observe que <\/p>\n

9,7a = 9 + 0,7a = 9a + 0,7x12m = 9a + 8,4m = 9a + 8m + 0,4m = 9a + 8m + 0,4x30d = 9a + 8m + 12d. Arredondamos o resultado para maior (9 anos e 9 meses). <\/p>\n

Nota: log3 = 0,47712 e log1,12 = 0,04922.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

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